Python尝试实现蒙特卡罗模拟期权定价


Posted in Python onApril 21, 2022

期权是一种合约,它赋予买方在未来某个时间点以特定价格买卖资产的权利。 这些被称为衍生品的合约的交易有多种原因,但一种常见的用法是来对冲当资产价格以不利方式变动,所产生的风险敞口。

期权,即买入或卖出的权利,也是有价格的。 Black Scholes 模型描述了一种确定期权公平价格的方法,但还有许多其他方法可以确定价格。

期权,及其价值

欧式期权只有在未来达到预定日期(称为到期日)后才能使用(或行使),可以用字母 T 表示。

看涨期权赋予期权持有人以已知价格购买的权利。 如果资产的到期价格(用 ST 表示)高于执行价格 K ,则看涨期权会赚钱,否则就一文不值。

CT=max(0,ST−K)

同样,看跌期权是出售资产的权利。 当资产在到期日价格ST低于执行价格K时,看跌期权会赚钱,否则就一文不值。

PT=max(0,K−ST)

以下是到期时看跌期权和看涨期权的收益图。 我们的资产价格是 x 轴,收益是 y 轴。

Python尝试实现蒙特卡罗模拟期权定价

风险中性估值

为了使用蒙特卡罗模拟为期权定价,我们使用风险中性估值,其中衍生品的公允价值是其未来收益的预期价值。

因此,在到期前的任何日期,用 t 表示,期权的价值是其到期收益预期的现值 T 。

Ct=PV(E[max(0,ST−K)])

Pt=PV(E[max(0,K−ST)])

在风险中性估值下,我们假设标的资产将平均获得无风险利率。 因此,要计算任何时间 t 的期权收益,我们要按该利率对收益进行贴现。 现在我们有一种计算现值 PV 的方法。

Python尝试实现蒙特卡罗模拟期权定价

上面的公式中,除了St ,所有这些变量都是已知的,因此St是我们的模拟将提供的。

为了给期权定价,我们将创建一个模拟,为资产 St 最终价格提供许多观察结果。 通过平均所有的回报,我们得到了对回报的期望值。

模拟资产价格

Black Scholes 模型中使用的股票价格行为模型假设我们有一个已知的波动性,我们有一个无风险利率,并且资产的价格遵循几何布朗运动。

几何布朗运动是一个随机过程,其中随机变量的对数服从正态分布。 这种类型的过程通过对数正态分布来分配价格。

所以现在我们有一个计算时间 T 时刻资产价格的方法:

Python尝试实现蒙特卡罗模拟期权定价

为此,我们需要知道:

r 是我们要贴现的无风险利率。 σ 是波动率,即股票回报的年化标准差。 (T-t) 给了我们年化的到期时间。 例如,对于 30 天选项,这将是 30/365=0.082... S 是在时间 t 标的资产的价格。 ϵ 是我们的随机值。 它的分布必须是标准正态(均值为 0.0,标准差为 1.0)

期权定价

为了在模拟过程中为期权定价,我们生成资产可能在到期时的许多价格,计算每个生成价格的期权收益,将它们平均,然后对最终价值进行贴现。

在创建完整模拟之前,我们将通过一个包含10次运行的小示例。假设我们有一个具有以下价值的资产:S = 100.00 美元和 σ = 20%,我们想为半年到期的看涨期权定价,执行价为 110.00 美元,我们的无风险利率是 1%。

随机变量 资产价格 收益 贴现收益
1.3620 120.64 10.64 10.58
-0.7784 89.13 0.00 0.00
-0.9408 87.11 0.00 0.00
0.2227 102.69 0.00 0.00
-0.0364 98.99 0.00 0.00
-1.4303 81.28 0.00 0.00
-0.8306 88.47 0.00 0.00
1.5155 123.28 13.28 13.21
-1.5679 79.71 0.00 0.00
-1.6718 78.55 0.00 0.00

将折扣收益值平均,得出我们的看涨期权价格为 2.38 美元。 我们执行的模拟越多,价格就越准确。

现在我们可以看到模拟如何生成价格,让我们构建一个可以为期权定价的小型 Python 脚本,看看它是否与真实情况相符。 让我们看一下实际的例子。

为真实期权定价

在下图中,我们有一个谷歌看涨期权的报价,行使价为 860.00 美元,将于 2013 年 9 月 21 日到期。我们还可以看到它的最后交易价格是14.50 美元。这个例子给了我们尝试定价时,期权的一个目标价格。

Python尝试实现蒙特卡罗模拟期权定价

此处未指定的是波动性、无风险利率、当前的股票价格。 波动率是一个相当复杂的话题,因此就本文而言,我们将假设我们知道该特定期权的波动率为 20.76%。而股票当前价格可以通过查看各种来源找到,为857.29 美元。

对于无风险利率,我们可以使用与我们选择的到期时间相同的美国 LIBOR 利率; 我们的期权在大约三周后到期,由于没有三周利率,我们将使用两周利率来近似,即 0.14%。

接下来是Python代码的实现,首先我们将写下我们将如何生成资产价格。

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

我们知道所有的输入值,所以我们可以像这样设定它们:

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0

print generate_asset_price(S,v,r,T)
>>> 862.1783726682384

现在我们需要能够计算这个生成价格的回报。 回想一下之前我们说过看涨期权在到期时价值是 ST-K 或 0,我们将其表示为一个函数,并应用于我们生成的资产价格。

def call_payoff(S_T, K):
    return max(S_T - K, 0.0)

print call_payoff(862.18, 860)
>>> 2.1799999999

完整的模拟

现在让我们将各模块代组合,并为 Google 期权定价。

import datetime
from random import gauss
from math import exp, sqrt

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

def call_payoff(S_T,K):
    return max(0.0,S_T-K)

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0
K = 860.
simulations = 90000
payoffs = []
discount_factor = math.exp(-r * T)

for i in xrange(simulations):
    S_T = generate_asset_price(S,v,r,T)
    payoffs.append(
        call_payoff(S_T, K)
    )

price = discount_factor * (sum(payoffs) / float(simulations))
print 'Price: %.4f' % price

程序运行结果如下,这与我们在市场上观察到的此 Google 期权的价格相匹配。

Price: 14.5069

需要注意的是,我们刚刚计算的谷歌期权实际上是一个美式期权,我们只是把它定价成欧式期权,没有考虑期权可以提前行权的可能性,尽管如此,我们仍然得出了正确的价格。

这是因为,非派息股票(例如文中举例的 Google)的美式看涨期权的价格与欧式看涨期权的价格相同。理论上,当股票不支付股息时,提前行权并不是最佳选择。 如果期权永远不会提前行权,那么美式期权的价格可以像欧式期权一样进行计算。

到此这篇关于Python利用蒙特卡罗模拟期权定价的文章就介绍到这了!


Tags in this post...

Python 相关文章推荐
Python 专题六 局部变量、全局变量global、导入模块变量
Mar 20 Python
浅谈Tensorflow模型的保存与恢复加载
Apr 26 Python
Django后台获取前端post上传的文件方法
May 28 Python
使用Python横向合并excel文件的实例
Dec 11 Python
python登录WeChat 实现自动回复实例详解
May 28 Python
用python给自己做一款小说阅读器过程详解
Jul 11 Python
初次部署django+gunicorn+nginx的方法步骤
Sep 11 Python
Django多进程滚动日志问题解决方案
Dec 17 Python
用python3读取python2的pickle数据方式
Dec 25 Python
django 解决扩展自带User表遇到的问题
May 14 Python
python 实现分组求和与分组累加求和代码
May 18 Python
Python连接mysql数据库及简单增删改查操作示例代码
Aug 03 Python
Python matplotlib绘制条形统计图 处理多个实验多组观测值
python绘制简单直方图(质量分布图)的方法
Python绘制散乱的点构成的图的方法
Python可视化动图组件ipyvizzu绘制惊艳的可视化动图
Python探索生命起源 matplotlib细胞自动机动画演示
Apr 21 #Python
使用python绘制横竖条形图
python多次执行绘制条形图
Apr 20 #Python
You might like
使用Sphinx对索引进行搜索
2013/06/25 PHP
php+MySQL判断update语句是否执行成功的方法
2014/08/28 PHP
PHP 将数组打乱 shuffle函数的用法及简单实例
2016/06/17 PHP
利用PHP判断文件是否为图片的方法总结
2017/01/06 PHP
身份证号码前六位所代表的省,市,区, 以及地区编码下载
2007/04/12 Javascript
js直接编辑当前cookie的脚本
2008/09/14 Javascript
CSS+Jquery实现页面圆角框方法大全
2009/12/24 Javascript
EasyUI 中 MenuButton 的使用方法
2012/07/14 Javascript
在服务端(Page.Write)调用自定义的JS方法详解
2013/08/09 Javascript
JS中window.open全屏命令解析及使用示例
2013/12/11 Javascript
jQuery实现简单网页遮罩层/弹出层效果兼容IE6、IE7
2014/06/16 Javascript
jquery显示隐藏input对象
2014/07/21 Javascript
js+csss实现的一个带复选框的下拉框
2014/09/29 Javascript
jquery模拟实现鼠标指针停止运动事件
2016/01/12 Javascript
node.js实现复制文本到剪切板的功能
2017/01/23 Javascript
Angular 2父子组件数据传递之局部变量获取子组件其他成员
2017/07/04 Javascript
vue中axios解决跨域问题和拦截器的使用方法
2018/03/07 Javascript
layer弹出层父子页面事件相互调用方法
2018/08/17 Javascript
Vue-Quill-Editor富文本编辑器的使用教程
2018/09/21 Javascript
spring+angular实现导出excel的实现代码
2019/02/27 Javascript
vue axios请求成功却进入catch的原因分析
2020/09/08 Javascript
VUE-ElementUI 自定义Loading图操作
2020/11/11 Javascript
原生JS实现音乐播放器的示例代码
2021/02/25 Javascript
[44:40]2018DOTA2亚洲邀请赛3月30日 小组赛A组Liquid VS OG
2018/03/31 DOTA
Python的Django框架安装全攻略
2015/07/15 Python
Python中struct模块对字节流/二进制流的操作教程
2017/01/21 Python
Python中实现最小二乘法思路及实现代码
2018/01/04 Python
python实现桌面气泡提示功能
2019/07/29 Python
Python实现计算长方形面积(带参数函数demo)
2020/01/18 Python
Python特殊属性property原理及使用方法解析
2020/10/09 Python
HTML5资源预加载(Link prefetch)详细介绍(给你的网页加速)
2014/05/07 HTML / CSS
html5 canvas绘制网络字体的常用方法
2019/08/26 HTML / CSS
英国浴室洗脸盆购物网站:Click Basin
2018/06/08 全球购物
Stella McCartney官网:成衣、包袋、香水、内衣、童装及Adidas系列
2018/12/20 全球购物
关爱残疾人演讲稿
2014/05/24 职场文书
实习指导教师评语
2014/12/30 职场文书